1.1. Algemeen

Symmetrie is overal in de natuur. Symmetrie is hèt structurerend element van de natuur om complexiteit te beheersen.

Een figuur is symmetrisch als de figuur er na een bepaalde transformatie precies hetzelfde uitziet: de originele figuur en de beeldfiguur zijn niet van elkaar te onderscheiden. Die transformatie is dan een symmetrie van de figuur.

De taal om symmetrieën te beschrijven en te analyseren is Wiskunde. Groeptheorie is de tak van de wiskunde die daarover gaat.

Symmetrieën zijn er in vele soorten. Een van die soorten is: symmetrieën van eindige geometrische figuren. In de 3-dimensionale ruimte zijn de Platonische figuren interessante voorbeelden hiervan. Een daarvan is de kubus. De kubus is een boeiende wiskundige, geometrische figuur, van drie ruimtelijke dimensies. In andere dimensies kunnen overeenkomstige figuren worden gedefiniëerd: in twee dimensies het vierkant, in hogere dimensies de hyperkubus. De 3-dimensionale ruimte wordt aangegeven met R3, in het algemeen wordt de n-dimensionale ruimte aangegeven met Rn.

Een figuur is meervoudig symmetrisch als er meerdere, ongelijke transformaties zijn die de figuur onveranderd laten. De verzameling van alle transformaties die een figuur onveranderd laten is de symmetriegroep van de figuur. Een symmetriegroep kan niet een zo maar willekeurige verzameling transformaties zijn. Als een figuur niet verandert door transformatie t1 en ook niet door transformatie t2, dan is duidelijk dat ook het uitvoeren van zowel t1 als t2 de figuur ongewijzigd zal laten. De verzameling vormt een wiskundige groep: de symmetriegroep van de figuur. Het zwaartepunt van een figuur blijft uiteraard onder alle symmetrische operaties op de figuur op zijn plaats.

Een symmetrische transformatie van een geometrische figuur is een rotatie, een spiegeling of een combinatie van rotaties en spiegelingen. Een figuur is spiegelsymmetrisch als de figuur door middel van een aantal rotaties binnen de eigen Rn in zijn spiegelbeeld kan worden veranderd.

Een hyperkubus in Rn is 2n*n!-voudig symmetrisch: er zijn n coördinaatassen met n! permutatiemogelijkheden en elke as kan positief of negatief worden gericht.

Hieronder in detail de symmetriegroepen van het vierkant en van de kubus.